Az orosz szülők gyermekeként 1928-ban, Párizsban született művész a gyermekkorát Milánóban töltötte. Később visszatért a francia fővárosba, majd az Egyesült Államokban telepedett le. 1948-ban, New Yorkban megismerkedett Steichennel, Robert Capával és Roy Strykerrel. Capa meghívására 1953-ban csatlakozott a Magnum Photos ügynökséghez. A nagyszerű tehetségeket foglalkoztató cégnél Elliott az elnöki tisztséget is több alkalommal betöltötte.
1970-től filmezéssel is elkezdett foglalkozni. Pályafutása során összesen mintegy 17 filmet forgatott, többek között dokumentumfilmeket, vígjátékokat és szatírákat. Amerikában, Párizsban, Madridban és Londonban önálló kiállítások keretében mutatták be a műveit. Pályafutása során több mint 20 könyvet publikált.
